Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + x}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} - 2 x^{2} + x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 2 x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ heraus.

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1 = 0$

Schritt 2.1.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1$ heraus.

$x (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 2.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$x {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x {(x - 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0, 1}$

Schritt 4