Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 6$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 2$

Schritt 4

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Schritt 5

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Schritt 5.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - 2) + 3$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 3$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 3$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Schritt 5.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x}{2} - 1 + 3$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$y = \frac{x}{2} + 2$

Schritt 6

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Schritt 6.2

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2) + 3$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2 + 3$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2 + 3$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2 + 3$

Schritt 6.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Schritt 6.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Schritt 6.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1 + 3$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 3$

Schritt 6.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$y = - \frac{x}{2} + 4$

Schritt 7

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{x}{2} + 2, y = - \frac{x}{2} + 4$

Schritt 8

Die Asymptoten sind $y = \frac{x}{2} + 2$ und $y = - \frac{x}{2} + 4$ .

Asymptoten: $y = \frac{x}{2} + 2, y = - \frac{x}{2} + 4$

Schritt 9