Elementarmathematik Beispiele

${(\cos (\frac{2 π}{7}) + i \sin (\frac{2 π}{7}))}^{5}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Berechne $\cos (\frac{2 π}{7})$ .

${(0.6234898 + i \sin (\frac{2 π}{7}))}^{5}$

Schritt 1.2

Berechne $\sin (\frac{2 π}{7})$ .

${(0.6234898 + i \cdot 0.78183148)}^{5}$

Schritt 1.3

Bringe $0.78183148$ auf die linke Seite von $i$ .

${(0.6234898 + 0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${0.6234898}^{5} + 5 \cdot {0.6234898}^{4} (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $0.6234898$ mit $5$ .

$0.09422079 + 5 \cdot {0.6234898}^{4} (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $0.6234898$ mit $4$ .

$0.09422079 + 5 \cdot 0.15111842 (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $0.15111842$ .

$0.09422079 + 0.75559212 (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $0.78183148$ mit $0.75559212$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.5

Potenziere $0.6234898$ mit $3$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 10 \cdot 0.24237513 {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $0.24237513$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.7

Wende die Produktregel auf $0.78183148 i$ an.

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 ({0.78183148}^{2} i^{2}) + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.8

Potenziere $0.78183148$ mit $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 (0.61126046 i^{2}) + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.9

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 (0.61126046 \cdot - 1) + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.10

Multipliziere $2.42375134 (0.61126046 \cdot - 1)$ .

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Schritt 3.1.10.1

Mutltipliziere $0.61126046$ mit $- 1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 \cdot - 0.61126046 + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.10.2

Mutltipliziere $2.42375134$ mit $- 0.61126046$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.11

Potenziere $0.6234898$ mit $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 10 \cdot 0.38873953 {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.12

Mutltipliziere $10$ mit $0.38873953$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.13

Wende die Produktregel auf $0.78183148 i$ an.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 ({0.78183148}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.14

Potenziere $0.78183148$ mit $3$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 i^{3}) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.15

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.16

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.17

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 (- i)) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.47790267$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (- 0.47790267 i) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.19

Mutltipliziere $- 0.47790267$ mit $3.88739533$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.20

Mutltipliziere $5$ mit $0.6234898$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.21

Wende die Produktregel auf $0.78183148 i$ an.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 ({0.78183148}^{4} i^{4}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.22

Potenziere $0.78183148$ mit $4$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 i^{4}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.23

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 3.1.23.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 {(i^{2})}^{2}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.23.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 {(- 1)}^{2}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.23.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 \cdot 1) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.24

Multipliziere $3.117449 (0.37363935 \cdot 1)$ .

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Schritt 3.1.24.1

Mutltipliziere $0.37363935$ mit $1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 \cdot 0.37363935 + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.24.2

Mutltipliziere $3.117449$ mit $0.37363935$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + {(0.78183148 i)}^{5}$

Schritt 3.1.25

Wende die Produktregel auf $0.78183148 i$ an.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + {0.78183148}^{5} i^{5}$

Schritt 3.1.26

Potenziere $0.78183148$ mit $5$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 i^{5}$

Schritt 3.1.27

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 (i^{4} i)$

Schritt 3.1.28

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 3.1.28.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 ({(i^{2})}^{2} i)$

Schritt 3.1.28.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 ({(- 1)}^{2} i)$

Schritt 3.1.28.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 (1 i)$

Schritt 3.1.29

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 i$

Schritt 3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1.48154337$ von $0.09422079$ .

$- 1.38732258 + 0.5907457 i - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 i$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 1.38732258$ und $1.16480164$ .

$- 0.22252093 + 0.5907457 i - 1.85779663 i + 0.29212301 i$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $1.85779663 i$ von $0.5907457 i$ .

$- 0.22252093 - 1.26705092 i + 0.29212301 i$

Schritt 3.2.4

Addiere $- 1.26705092 i$ und $0.29212301 i$ .

$- 0.22252093 - 0.97492791 i$

Schritt 4

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 5

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 6

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 0.22252093$ und $b = - 0.97492791$ .

$| z | = \sqrt{{(- 0.97492791)}^{2} + {(- 0.22252093)}^{2}}$

Schritt 7

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 7.1

Potenziere $- 0.97492791$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0.95048443 + {(- 0.22252093)}^{2}}$

Schritt 7.2

Potenziere $- 0.22252093$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0.95048443 + 0.04951556}$

Schritt 7.3

Addiere $0.95048443$ und $0.04951556$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Schritt 7.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Schritt 7.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 1$

Schritt 8

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 0.97492791}{- 0.22252093})$

Schritt 9

Da der inverse Tangens von $\frac{- 0.97492791}{- 0.22252093}$ einen Winkel im dritten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{10 π}{7}$ .

$θ = \frac{10 π}{7}$

Schritt 10

Substituiere die Werte von $θ = \frac{10 π}{7}$ und $| z | = 1$ .

$1 (\cos (\frac{10 π}{7}) + i \sin (\frac{10 π}{7}))$