Elementarmathematik Beispiele

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{36} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{36} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 4$

$b = 6$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + {(6)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 36}$

Schritt 4.3.3

Addiere $16$ und $36$ .

$\sqrt{52}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$\sqrt{4 (13)}$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 13}$

Schritt 4.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{13}$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, 2 \sqrt{13})$

Schritt 5.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 5.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, - 2 \sqrt{13})$

Schritt 5.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(0, 2 \sqrt{13}), (0, - 2 \sqrt{13})$

Schritt 6