Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{3} - 8}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - 32}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $5$ von $x^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $32$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{32 - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$\frac{32 - 32}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $32$ von $32$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 8}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 8}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 8}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{2^{3} - 1 \cdot 8}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{3} - 8} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 32$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{3 x^{2} + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{3 x^{2}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} (5 x^{2})}{3 x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{2}}{3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{5}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5}{3} lim_{x \to 2} x^{2}$

Schritt 2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5}{3} {(lim_{x \to 2} x)}^{2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5}{3} \cdot 4$

Schritt 4.2

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot 4$ .

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $4$ .

$\frac{5 \cdot 4}{3}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{20}{3}$

Dezimalform:

$6.\overline{6}$