Elementarmathematik Beispiele

${(2 v + 3)}^{6}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(2 v + 3)}^{6}$ gilt $n = 6$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $7$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $2 v$ und $b$ $3$ in den Ausdruck ein.

$1 {(2 v)}^{6} {(3)}^{0} + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(2 v)}^{6}$ mit $1$ .

${(2 v)}^{6} {(3)}^{0} + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 v$ an.

$2^{6} v^{6} {(3)}^{0} + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $6$ .

$64 v^{6} {(3)}^{0} + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$64 v^{6} \cdot 1 + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $64$ mit $1$ .

$64 v^{6} + 6 {(2 v)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.6

Wende die Produktregel auf $2 v$ an.

$64 v^{6} + 6 (2^{5} v^{5}) {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.7

Potenziere $2$ mit $5$ .

$64 v^{6} + 6 (32 v^{5}) {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $32$ mit $6$ .

$64 v^{6} + 192 v^{5} {(3)}^{1} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.9

Berechne den Exponenten.

$64 v^{6} + 192 v^{5} \cdot 3 + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $3$ mit $192$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 15 {(2 v)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $2 v$ an.

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 15 (2^{4} v^{4}) {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.12

Potenziere $2$ mit $4$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 15 (16 v^{4}) {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $16$ mit $15$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 240 v^{4} {(3)}^{2} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.14

Potenziere $3$ mit $2$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 240 v^{4} \cdot 9 + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $9$ mit $240$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 20 {(2 v)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.16

Wende die Produktregel auf $2 v$ an.

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 20 (2^{3} v^{3}) {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.17

Potenziere $2$ mit $3$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 20 (8 v^{3}) {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $8$ mit $20$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 160 v^{3} {(3)}^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.19

Potenziere $3$ mit $3$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 160 v^{3} \cdot 27 + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere $27$ mit $160$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 15 {(2 v)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.21

Wende die Produktregel auf $2 v$ an.

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 15 (2^{2} v^{2}) {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.22

Potenziere $2$ mit $2$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 15 (4 v^{2}) {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.23

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 60 v^{2} {(3)}^{4} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.24

Potenziere $3$ mit $4$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 60 v^{2} \cdot 81 + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.25

Mutltipliziere $81$ mit $60$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 6 {(2 v)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.26

Vereinfache.

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 6 (2 v) {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.27

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 12 v {(3)}^{5} + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.28

Potenziere $3$ mit $5$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 12 v \cdot 243 + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.29

Mutltipliziere $243$ mit $12$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + 1 {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.30

Mutltipliziere ${(2 v)}^{0}$ mit $1$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + {(2 v)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.31

Wende die Produktregel auf $2 v$ an.

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + 2^{0} v^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.32

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + 1 v^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.33

Mutltipliziere $v^{0}$ mit $1$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + v^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.34

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + 1 {(3)}^{6}$

Schritt 4.35

Mutltipliziere ${(3)}^{6}$ mit $1$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + {(3)}^{6}$

Schritt 4.36

Potenziere $3$ mit $6$ .

$64 v^{6} + 576 v^{5} + 2160 v^{4} + 4320 v^{3} + 4860 v^{2} + 2916 v + 729$