Elementarmathematik Beispiele

${(x^{2} y - 1)}^{5}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(x^{2} y - 1)}^{5}$ gilt $n = 5$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $6$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $x^{2} y$ und $b$ $- 1$ in den Ausdruck ein.

$1 {(x^{2} y)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x^{2} y)}^{5}$ mit $1$ .

${(x^{2} y)}^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $x^{2} y$ an.

${(x^{2})}^{5} y^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{5}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 5} y^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x^{10} y^{5} {(- 1)}^{0} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{10} y^{5} \cdot 1 + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $x^{10}$ mit $1$ .

$x^{10} y^{5} + 5 {(x^{2} y)}^{4} {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.6

Wende die Produktregel auf $x^{2} y$ an.

$x^{10} y^{5} + 5 ({(x^{2})}^{4} y^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{4}$ .

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Schritt 4.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{10} y^{5} + 5 (x^{2 \cdot 4} y^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x^{10} y^{5} + 5 (x^{8} y^{4}) {(- 1)}^{1} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.8

Berechne den Exponenten.

$x^{10} y^{5} + 5 x^{8} y^{4} \cdot - 1 + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 {(x^{2} y)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $x^{2} y$ an.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 ({(x^{2})}^{3} y^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.11

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 (x^{2 \cdot 3} y^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 (x^{6} y^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.12

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} \cdot 1 + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 {(x^{2} y)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.14

Wende die Produktregel auf $x^{2} y$ an.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 ({(x^{2})}^{2} y^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.15

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.15.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 (x^{2 \cdot 2} y^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.15.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 (x^{4} y^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.16

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} + 10 x^{4} y^{2} \cdot - 1 + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 {(x^{2} y)}^{1} {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.18

Vereinfache.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 (x^{2} y) {(- 1)}^{4} + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.19

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y \cdot 1 + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + 1 {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.21

Mutltipliziere ${(x^{2} y)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + {(x^{2} y)}^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.22

Wende die Produktregel auf $x^{2} y$ an.

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + {(x^{2})}^{0} y^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.23

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{0}$ .

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Schritt 4.23.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + x^{2 \cdot 0} y^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.23.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + x^{0} y^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.24

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + 1 y^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.25

Mutltipliziere $y^{0}$ mit $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + y^{0} {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.26

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + 1 {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.27

Mutltipliziere ${(- 1)}^{5}$ mit $1$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y + {(- 1)}^{5}$

Schritt 4.28

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$x^{10} y^{5} - 5 x^{8} y^{4} + 10 x^{6} y^{3} - 10 x^{4} y^{2} + 5 x^{2} y - 1$