Elementarmathematik Beispiele

${(x + 2 y)}^{7}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(x + 2 y)}^{7}$ gilt $n = 7$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $8$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$ .

$1 a^{7} b^{0} + 7 a^{6} b + 21 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + 7 a b^{6} + 1 a^{0} b^{7}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $x$ und $b$ $2 y$ in den Ausdruck ein.

$1 {(x)}^{7} {(2 y)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{7}$ mit $1$ .

${(x)}^{7} {(2 y)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{7} (2^{0} y^{0}) + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2^{0} x^{7} y^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{7} y^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $x^{7}$ mit $1$ .

$x^{7} y^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{7} \cdot 1 + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $x^{7}$ mit $1$ .

$x^{7} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$x^{7} + 7 x^{6} (2 y) + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{7} + 7 \cdot 2 x^{6} y + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 21 x^{5} (2^{2} y^{2}) + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 21 \cdot 2^{2} x^{5} y^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 21 \cdot 4 x^{5} y^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $21$ mit $4$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} (2^{3} y^{3}) + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.16

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 35 \cdot 2^{3} x^{4} y^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.17

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 35 \cdot 8 x^{4} y^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $35$ mit $8$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} (2^{4} y^{4}) + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.20

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 35 \cdot 2^{4} x^{3} y^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.21

Potenziere $2$ mit $4$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 35 \cdot 16 x^{3} y^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere $35$ mit $16$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} (2^{5} y^{5}) + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.24

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 21 \cdot 2^{5} x^{2} y^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.25

Potenziere $2$ mit $5$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 21 \cdot 32 x^{2} y^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.26

Mutltipliziere $21$ mit $32$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.27

Vereinfache.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 7 x {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.28

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 7 x (2^{6} y^{6}) + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.29

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 7 \cdot 2^{6} x y^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.30

Potenziere $2$ mit $6$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 7 \cdot 64 x y^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.31

Mutltipliziere $7$ mit $64$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.32

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.33

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + 1 {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.34

Mutltipliziere ${(2 y)}^{7}$ mit $1$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + {(2 y)}^{7}$

Schritt 4.35

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + 2^{7} y^{7}$

Schritt 4.36

Potenziere $2$ mit $7$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + 128 y^{7}$