Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - 3 x + 3$

Schritt 1

Setze $2 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - 3 x + 3$ gleich $0$ .

$2 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - 3 x + 3 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{3} - 3 x + 2 x^{4} - 7 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 3 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 3 x + 2 x^{4} - 7 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x^{4} - 7 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 3$ heraus.

$x (x^{2} - 3) + 2 x^{4} - 7 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (x^{2} - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 2.1.5.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 u$ heraus.

$x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 1$ plus $- 6$

$x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} + (- 1 - 6) u + 3 = 0$

Schritt 2.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3 = 0$

Schritt 2.1.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x^{2} - 3) + u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$x (x^{2} - 3) + (2 u - 1) (u - 3) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $x (x^{2} - 3)$ heraus.

$(x^{2} - 3) x + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $(2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3)$ heraus.

$(x^{2} - 3) x + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $(x^{2} - 3) x + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 1)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} - 3) (u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.9.1

Stelle die Terme um.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.1.9.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} - 3) ((2 u^{2} - 1 u) + 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} - 3) (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Schritt 2.1.9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$(x^{2} - 3) ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} - 3) ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 3) (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 3) (2 x - 1) (x + 1) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = \frac{1}{2}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 1$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = \frac{1}{2}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 1$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3