Elementarmathematik Beispiele

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ , $\cos (θ) = \frac{2}{3}$

Schritt 1

Um den Wert von $\tan (θ)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}$

Schritt 2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \sqrt{5} (\frac{1}{2})$

Schritt 2.3

Kombiniere $\sqrt{5}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 3

Um den Wert von $\cot (θ)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\tan (θ)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = 1 (\frac{2}{\sqrt{5}})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5

Um den Wert von $\sec (θ)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\cos (θ)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Schritt 6

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = 1 (\frac{3}{2})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3}{2}$

Schritt 7

Um den Wert von $\csc (θ)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\sin (θ)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$

Schritt 8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = 1 (\frac{3}{\sqrt{5}})$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{5}}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 8.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 8.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 8.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 8.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 8.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 8.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 8.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9

Die ermittelten trigonometrischen Funktionen sind wie folgt:

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

$\csc (θ) = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$