Elementarmathematik Beispiele

$5^{3 x - 1} = 4^{2 - x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (5^{3 x - 1}) = \ln (4^{2 - x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (5^{3 x - 1})$ durch Herausziehen von $3 x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(3 x - 1) \ln (5) = \ln (4^{2 - x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (4^{2 - x})$ durch Herausziehen von $2 - x$ aus dem Logarithmus.

$(3 x - 1) \ln (5) = (2 - x) \ln (4)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(3 x - 1) \ln (5)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (3 x - 1) \ln (5) = (2 - x) \ln (4)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(3 x - 1) \ln (5) = (2 - x) \ln (4)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \ln (5) - 1 \ln (5) = (2 - x) \ln (4)$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$3 x \ln (5) - \ln (5) = (2 - x) \ln (4)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \ln (5) - \ln (5) = 2 \ln (4) - x \ln (4)$

Schritt 4.3

Addiere $x \ln (4)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (5) - \ln (5) + x \ln (4) = 2 \ln (4)$

Schritt 4.4

Addiere $\ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (5) + x \ln (4) = 2 \ln (4) + \ln (5)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $3 x \ln (5) + x \ln (4)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x \ln (5)$ heraus.

$x (3 \ln (5)) + x \ln (4) = 2 \ln (4) + \ln (5)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (4)$ heraus.

$x (3 \ln (5)) + x (\ln (4)) = 2 \ln (4) + \ln (5)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 \ln (5)) + x (\ln (4))$ heraus.

$x (3 \ln (5) + \ln (4)) = 2 \ln (4) + \ln (5)$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $x (3 \ln (5) + \ln (4)) = 2 \ln (4) + \ln (5)$ durch $3 \ln (5) + \ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (3 \ln (5) + \ln (4)) = 2 \ln (4) + \ln (5)$ durch $3 \ln (5) + \ln (4)$ .

$\frac{x (3 \ln (5) + \ln (4))}{3 \ln (5) + \ln (4)} = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (5) + \ln (4)} + \frac{\ln (5)}{3 \ln (5) + \ln (4)}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \ln (5) + \ln (4)$ .

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Schritt 4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 \ln (5) + \ln (4))}{3 \ln (5) + \ln (4)} = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (5) + \ln (4)} + \frac{\ln (5)}{3 \ln (5) + \ln (4)}$

Schritt 4.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 \ln (4)}{3 \ln (5) + \ln (4)} + \frac{\ln (5)}{3 \ln (5) + \ln (4)}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 \ln (4) + \ln (5)}{3 \ln (5) + \ln (4)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{2 \ln (4) + \ln (5)}{3 \ln (5) + \ln (4)}$

Dezimalform:

$x = 0.70511713 \dots$