Elementarmathematik Beispiele

$\ln (5 x + 1)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \ln (5 y + 1)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (5 y + 1) = x$ um.

$\ln (5 y + 1) = x$

Schritt 2.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (5 y + 1)} = e^{x}$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (5 y + 1) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 5 y + 1$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $5 y + 1 = e^{x}$ um.

$5 y + 1 = e^{x}$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = e^{x} - 1$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $5 y = e^{x} - 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = e^{x} - 1$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln (5 x + 1)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln (5 x + 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)}}{5} - \frac{1}{5}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)} - 1}{5}$

Schritt 4.2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 1 - 1}{5}$

Schritt 4.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x + 1 - 1$ .

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 4.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) + 1)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} - 1 + 1)$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x} - 1 + 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 0)$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x})$

Schritt 4.3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \ln (e)$

Schritt 4.3.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \cdot 1$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln (5 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$