Elementarmathematik Beispiele

$\arccos (x - π)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \arccos (y - π)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\arccos (y - π) = x$ um.

$\arccos (y - π) = x$

Schritt 2.2

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$y - π = \cos (x)$

Schritt 2.3

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \cos (x) + π$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \cos (x) + π$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \cos (x) + π$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \arccos (x - π)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\arccos (x - π))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arccos (x - π)) = \cos (\arccos (x - π)) + π$

Schritt 4.2.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f^{- 1} (\arccos (x - π)) = x - π + π$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - π + π$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- π$ und $π$ .

$f^{- 1} (\arccos (x - π)) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\arccos (x - π)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\cos (x) + π)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\cos (x) + π) = \arccos ((\cos (x) + π) - π)$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\cos (x) + π) - π$ .

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f (\cos (x) + π) = \arccos (\cos (x) + 0)$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $\cos (x)$ und $0$ .

$f (\cos (x) + π) = \arccos (\cos (x))$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \cos (x) + π$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \arccos (x - π)$ .

$f^{- 1} (x) = \cos (x) + π$