Elementarmathematik Beispiele

$12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7 = 0$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{12}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{4}, \pm \frac{7}{6}, \pm \frac{7}{12}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$12 {(\frac{1}{4})}^{3} - 91 {(\frac{1}{4})}^{2} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{1}{4}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$12 \frac{1^{3}}{4^{3}} - 91 {(\frac{1}{4})}^{2} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 \frac{1}{4^{3}} - 91 {(\frac{1}{4})}^{2} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$12 (\frac{1}{64}) - 91 {(\frac{1}{4})}^{2} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (3) \frac{1}{64} - 91 {(\frac{1}{4})}^{2} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 \cdot 16} - 91 {(\frac{1}{4})}^{2} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 \cdot 16} - 91 {(\frac{1}{4})}^{2} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{1}{16}) - 91 {(\frac{1}{4})}^{2} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{16}$ .

$\frac{3}{16} - 91 {(\frac{1}{4})}^{2} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\frac{3}{16} - 91 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{16} - 91 \frac{1}{4^{2}} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3}{16} - 91 (\frac{1}{16}) + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.9

Kombiniere $- 91$ und $\frac{1}{16}$ .

$\frac{3}{16} + \frac{- 91}{16} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{16} - \frac{91}{16} + 50 (\frac{1}{4}) - 7$

Schritt 4.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.11.1

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$\frac{3}{16} - \frac{91}{16} + 2 (25) \frac{1}{4} - 7$

Schritt 4.1.11.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3}{16} - \frac{91}{16} + 2 \cdot 25 \frac{1}{2 \cdot 2} - 7$

Schritt 4.1.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{16} - \frac{91}{16} + 2 \cdot 25 \frac{1}{2 \cdot 2} - 7$

Schritt 4.1.11.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{16} - \frac{91}{16} + 25 (\frac{1}{2}) - 7$

Schritt 4.1.12

Kombiniere $25$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{16} - \frac{91}{16} + \frac{25}{2} - 7$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 7 + \frac{3 - 91}{16} + \frac{25}{2}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $91$ von $3$ .

$- 7 + \frac{- 88}{16} + \frac{25}{2}$

Schritt 4.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $- 7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 7}{1} + \frac{- 88}{16} + \frac{25}{2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 7}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 7}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{- 88}{16} + \frac{25}{2}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 7}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 7 \cdot 16}{16} + \frac{- 88}{16} + \frac{25}{2}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $\frac{25}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 7 \cdot 16}{16} + \frac{- 88}{16} + \frac{25}{2} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{25}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 7 \cdot 16}{16} + \frac{- 88}{16} + \frac{25 \cdot 8}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{- 7 \cdot 16}{16} + \frac{- 88}{16} + \frac{25 \cdot 8}{16}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 7 \cdot 16 - 88 + 25 \cdot 8}{16}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $16$ .

$\frac{- 112 - 88 + 25 \cdot 8}{16}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $25$ mit $8$ .

$\frac{- 112 - 88 + 200}{16}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Subtrahiere $88$ von $- 112$ .

$\frac{- 200 + 200}{16}$

Schritt 4.6.2

Addiere $- 200$ und $200$ .

$\frac{0}{16}$

Schritt 4.6.3

Dividiere $0$ durch $16$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{1}{4}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7}{x - \frac{1}{4}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{1}{4}$	$12$	$- 91$	$50$	$- 7$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(12)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{1}{4}$	$12$	$- 91$	$50$	$- 7$

	$12$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(12)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 91)$ .

$\frac{1}{4}$	$12$	$- 91$	$50$	$- 7$
		$3$
	$12$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{4}$	$12$	$- 91$	$50$	$- 7$
		$3$
	$12$	$- 88$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 88)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 22)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(50)$ .

$\frac{1}{4}$	$12$	$- 91$	$50$	$- 7$
		$3$	$- 22$
	$12$	$- 88$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{4}$	$12$	$- 91$	$50$	$- 7$
		$3$	$- 22$
	$12$	$- 88$	$28$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(28)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$\frac{1}{4}$	$12$	$- 91$	$50$	$- 7$
		$3$	$- 22$	$7$
	$12$	$- 88$	$28$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{4}$	$12$	$- 91$	$50$	$- 7$
		$3$	$- 22$	$7$
	$12$	$- 88$	$28$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$12 x^{2} + - 88 x + 28$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$12 x^{2} - 88 x + 28$

Schritt 7

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2} - 88 x + 28$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (3 x^{2}) - 88 x + 28)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $4$ aus $- 88 x$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (3 x^{2}) + 4 (- 22 x) + 28)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (3 x^{2}) + 4 (- 22 x) + 4 (7))$

Schritt 7.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x^{2}) + 4 (- 22 x)$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (3 x^{2} - 22 x) + 4 (7))$

Schritt 7.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x^{2} - 22 x) + 4 (7)$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (3 x^{2} - 22 x + 7))$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ und deren Summe gleich $b = - 22$ ist.

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Schritt 8.1.1.1

Faktorisiere $- 22$ aus $- 22 x$ heraus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (3 x^{2} - 22 x + 7))$

Schritt 8.1.1.2

Schreibe $- 22$ um als $- 1$ plus $- 21$

$(x - \frac{1}{4}) (4 (3 x^{2} + (- 1 - 21) x + 7))$

Schritt 8.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (3 x^{2} - 1 x - 21 x + 7))$

Schritt 8.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - \frac{1}{4}) (4 ((3 x^{2} - 1 x) - 21 x + 7))$

Schritt 8.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (x (3 x - 1) - 7 (3 x - 1)))$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(x - \frac{1}{4}) (4 ((3 x - 1) (x - 7)))$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - \frac{1}{4}) (4 (3 x - 1) (x - 7))$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 9.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 9.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 7, \pm 0.58\overline{3}, \pm 3.5, \pm 1.1\overline{6}, \pm 2.\overline{3}, \pm 1.75$

Schritt 9.1.3

Setze $0.\overline{3}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.\overline{3}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 9.1.3.1

Setze $0.\overline{3}$ in das Polynom ein.

$12 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Schritt 9.1.3.2

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $3$ .

$12 \cdot 0.\overline{037} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Schritt 9.1.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{4} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Schritt 9.1.3.4

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $2$ .

$0.\overline{4} - 91 \cdot 0.\overline{1} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Schritt 9.1.3.5

Mutltipliziere $- 91$ mit $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{4} - 10.11111111 + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Schritt 9.1.3.6

Subtrahiere $10.11111111$ von $0.\overline{4}$ .

$- 9.66666666 + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

Schritt 9.1.3.7

Mutltipliziere $50$ mit $0.\overline{3}$ .

$- 9.66666666 + 16.\overline{6} - 7$

Schritt 9.1.3.8

Addiere $- 9.66666666$ und $16.\overline{6}$ .

$7 - 7$

Schritt 9.1.3.9

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$0$

Schritt 9.1.4

Da $0.\overline{3}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7}{3 x - 1}$

Schritt 9.1.5

Dividiere $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ durch $3 x - 1$ .

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Schritt 9.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$91 x^{2}$

$50 x$

$7$

Schritt 9.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$

Schritt 9.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			+	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 9.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{3} - 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 9.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$

Schritt 9.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$

Schritt 9.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 87 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$

Schritt 9.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					-	$87 x^{2}$	+	$29 x$

Schritt 9.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 87 x^{2} + 29 x$

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$

Schritt 9.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$

Schritt 9.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$

Schritt 9.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $21 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$

Schritt 9.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							+	$21 x$	-	$7$

Schritt 9.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $21 x - 7$

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							-	$21 x$	+	$7$

Schritt 9.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							-	$21 x$	+	$7$
										$0$

Schritt 9.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$4 x^{2} - 29 x + 7$

Schritt 9.1.6

Schreibe $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 29 x + 7) = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ und deren Summe gleich $b = - 29$ ist.

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Schritt 9.2.1.1.1

Faktorisiere $- 29$ aus $- 29 x$ heraus.

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 29 x + 7) = 0$

Schritt 9.2.1.1.2

Schreibe $- 29$ um als $- 1$ plus $- 28$

$(3 x - 1) (4 x^{2} + (- 1 - 28) x + 7) = 0$

Schritt 9.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 1 x - 28 x + 7) = 0$

Schritt 9.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x - 1) ((4 x^{2} - 1 x) - 28 x + 7) = 0$

Schritt 9.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(3 x - 1) (x (4 x - 1) - 7 (4 x - 1)) = 0$

Schritt 9.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 1$ .

$(3 x - 1) ((4 x - 1) (x - 7)) = 0$

Schritt 9.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x - 1) (4 x - 1) (x - 7) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 11

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 12

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 12.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 12.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 12.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 12.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 12.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 13

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (4 x - 1) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, 7$

Schritt 15