Elementarmathematik Beispiele

$\cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$ , $[0, 2 π)$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{1} (x)$ heraus.

$\cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- 2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin (x))$ heraus.

$\cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $1 - 2 \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $1 - 2 \sin (x)$ gleich $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $1 - 2 \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 4.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 4.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 7.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 7.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 7.1.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Schritt 7.1.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Schritt 7.1.2.2

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 7.1.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 7.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 7.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{2} + π (0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 7.2.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}$

Schritt 7.3

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 7.3.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Schritt 7.3.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Schritt 7.3.2.2

Addiere $\frac{5 π}{6}$ und $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Schritt 7.3.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.4

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 7.4.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{π}{2} + π (1)$

Schritt 7.4.2

Vereinfache.

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Schritt 7.4.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Schritt 7.4.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.4.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.4.2.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Schritt 7.4.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Schritt 7.4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Schritt 7.4.2.4.2

Addiere $π$ und $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 7.4.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$