Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} - x^{4} \leq 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} - x^{4} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{2} - x^{4}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$x^{2} \cdot 2 - x^{4} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{4}$ heraus.

$x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2}) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2})$ heraus.

$x^{2} (2 - x^{2}) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 - x^{2} = 0$

Schritt 4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $2 - x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 - x^{2}$ gleich $0$ .

$2 - x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 - x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 2$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Schritt 5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (2 - x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < 0$

$0 < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 4)}^{2} - {(- 4)}^{4} \leq 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 224$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- \sqrt{2} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \sqrt{2} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4} \leq 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4} \leq 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(4)}^{2} - {(4)}^{4} \leq 0$

Schritt 8.4.3

Die linke Seite $- 224$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \sqrt{2}$ Wahr

$- \sqrt{2} < x < 0$ Falsch

$0 < x < \sqrt{2}$ Falsch

$x > \sqrt{2}$ Wahr

$x < - \sqrt{2}$ Wahr

$- \sqrt{2} < x < 0$ Falsch

$0 < x < \sqrt{2}$ Falsch

$x > \sqrt{2}$ Wahr

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \sqrt{2}$ oder $x \geq \sqrt{2}$ oder $x = 0$

Schritt 10

Vereine die Intervalle.

$x \leq - \sqrt{2} or x = 0 or x \geq \sqrt{2}$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - \sqrt{2}] \cup [0, 0] \cup [\sqrt{2}, \infty)$

Schritt 12