Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 1} \geq 0$

Schritt 1

Multipliziere über Kreuz.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$0 \cdot (x + 1) \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $x + 1$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 1.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$0 \geq \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2

Stelle so um, dass $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ als ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${((x + 1) (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

${(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

${(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

${(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(x^{2} - x + x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

${(x^{2} + 0 - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.3.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache.

$x^{2} - 1 \leq 0^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} - 1 \leq 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \leq 1$

Schritt 5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| x | \leq 1$

Schritt 5.4

Schreibe $| x | \leq 1$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 1$

Schritt 5.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 5.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 1$

Schritt 5.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 5.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 1$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Schritt 5.6

Löse $- x \leq 1$ , wenn $x < 0$ ergibt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.6.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x \geq - 1$

Schritt 5.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 1$ und $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Schritt 5.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 1 \leq x \leq 1$

Schritt 6

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 1, 1]$

Schritt 7