Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 81$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 81$

Schritt 2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 9^{2}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x^{2}$ und $i = 9$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})$

Schritt 4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = 3$ .

$(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 5

Multipliziere die Konstante im Polynom $x^{2} + 9$ mit $- i^{2}$ , wobei $i^{2}$ gleich $- 1$ ist.

$(x^{2} - 9 i^{2}) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 6

Schreibe $9 i^{2}$ als ${(3 i)}^{2}$ um.

$(x^{2} - {(3 i)}^{2}) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = 3 i$ .

$(x + 3 i) (x - (3 i)) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(x + 3 i) (x - 3 i) (x + 3) (x - 3)$