Elementarmathematik Beispiele

$x = y^{2} - 4 y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $y^{2} - 4 y = x$ um.

$y^{2} - 4 y = x$

Schritt 2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 y - x = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Schreibe $- 4 (- 4 - x)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ um.

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $- 4 (- 4 - x)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ um.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Schreibe $- 4 (- 4 - x)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ um.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Schritt 9

Tausche die Variablen aus. Erstelle für jeden Ausdruck eine Gleichung.

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

Schritt 10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ um.

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

Schritt 10.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 10.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 10.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ als ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.2.1

Vereinfache ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.4

Multipliziere $- 1 (- y)$ .

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Schritt 10.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.5

Vereinfache.

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.3.1

Vereinfache ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 10.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

Schritt 10.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Schritt 10.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Schritt 10.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 10.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 10.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 10.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Schritt 10.4.3.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 10.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.5.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

Schritt 10.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 4 x + 4 - 4$ .

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Schritt 10.5.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y = x^{2} - 4 x + 0$

Schritt 10.5.2.2

Addiere $x^{2} - 4 x$ und $0$ .

$y = x^{2} - 4 x$

Schritt 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Schritt 12

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ ist.

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Schritt 12.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ und $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ und vergleiche sie.

Schritt 12.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Schritt 12.2.1

Finde den Wertebereich von $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Schritt 12.2.1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[2, \infty)$

Schritt 12.2.2

Finde den Wertebereich von $2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Schritt 12.2.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2]$

Schritt 12.2.3

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Schritt 12.2.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 12.3

Bestimme den Definitionsbereich von $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Schritt 12.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

Schritt 12.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 12.3.2.1.1

Teile jeden Term in $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 12.3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.3.2.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 12.3.2.1.2.2

Dividiere $- 4 - x$ durch $1$ .

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 12.3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$- 4 - x \leq 0$

Schritt 12.3.2.2

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \leq 4$

Schritt 12.3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 12.3.2.3.1

Teile jeden Term in $- x \leq 4$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Schritt 12.3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.3.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Schritt 12.3.2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Schritt 12.3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.2.3.3.1

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$x \geq - 4$

Schritt 12.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 4, \infty)$

Schritt 12.4

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ der Wertebereich von $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ der Definitionsbereich von $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ die inverse Funktion von $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Schritt 13