Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(x - 2)}^{2} + 5$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$f (x) = (x - 2) (x - 2) + 5$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = x (x - 2) - 2 (x - 2) + 5$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) + 5$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + 5$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + 5$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 + 5$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (x) = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + 5$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f (x) = x^{2} - 4 x + 4 + 5$

Schritt 2

Addiere $4$ und $5$ .

$f (x) = x^{2} - 4 x + 9$

Schritt 3

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 4

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 4}{2 (1)}$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 4}{2 (1)}$

Schritt 4.3

Vereinfache $- \frac{- 4}{2 (1)}$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- 2}{1}$

Schritt 4.3.1.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$x = - - 2$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$x = 2$

Schritt 5

Berechne $f (2)$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 9$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 4 - 4 \cdot 2 + 9$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (2) = 4 - 8 + 9$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f (2) = - 4 + 9$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 4$ und $9$ .

$f (2) = 5$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 6

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(2, 5)$

Schritt 7