Elementarmathematik Beispiele

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y - 37 = 0$

Schritt 1

Addiere $37$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $12 x^{2} - 12 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{12}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $12$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 12)}^{2}$ und $12$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (12)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Schritt 2.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Schritt 2.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $12^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

Schritt 2.4.2.1.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

Schritt 2.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1.1.6.1

Faktorisiere $12$ aus $4 \cdot 12$ heraus.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{12}{4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Schritt 2.4.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{3}{1}$

Schritt 2.4.2.1.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e = 0 - 3$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$e = - 3$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ ein.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

Schritt 3

Setze $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ für $12 x^{2} - 12 x$ ein in der Gleichung $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 37$

Schritt 4

Bringe $- 3$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $3$ auf beiden Seiten.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 37 + 3$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $20 y^{2} + 40 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 20$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{20}{20}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{20}{20}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $20$ .

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $1600$ durch $80$ .

$e = 0 - 1 \cdot 20$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$e = 0 - 20$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $20$ von $0$ .

$e = - 20$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ ein.

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

Schritt 6

Setze $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ für $20 y^{2} + 40 y$ ein in der Gleichung $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 37 + 3$

Schritt 7

Bringe $- 20$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $20$ auf beiden Seiten.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 37 + 3 + 20$

Schritt 8

Vereinfache $37 + 3 + 20$ .

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Schritt 8.1

Addiere $37$ und $3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 40 + 20$

Schritt 8.2

Addiere $40$ und $20$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 60$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $60$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{60} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Schritt 11

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 12

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

Schritt 13

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 14

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 15.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 15.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.1.4

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 15.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 15.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 15.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 15.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 15.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 15.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 15.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 15.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 15.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 15.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Schritt 15.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Dezimalform:

$0.63245553 \dots$

Schritt 17