Elementarmathematik Beispiele

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y - 44 = 0$

Schritt 1

Addiere $44$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 x^{2} - 36 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 18}{9}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $9$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $1296$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$e = 0 - 36$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$e = - 36$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ ein.

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Schritt 3

Setze $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ für $9 x^{2} - 36 x$ ein in der Gleichung $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 + 4 y^{2} + 32 y = 44$

Schritt 4

Bringe $- 36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = 44 + 36$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 y^{2} + 32 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{16}{4}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 5.3.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $1024$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$e = 0 - 64$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $64$ von $0$ .

$e = - 64$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ ein.

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

Schritt 6

Setze $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ für $4 y^{2} + 32 y$ ein in der Gleichung $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = 44 + 36$

Schritt 7

Bringe $- 64$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $64$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 44 + 36 + 64$

Schritt 8

Vereinfache $44 + 36 + 64$ .

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Schritt 8.1

Addiere $44$ und $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 80 + 64$

Schritt 8.2

Addiere $80$ und $64$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 144$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $144$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{36} = 1$

Schritt 11

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 12

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 6$

$b = 4$

$k = - 4$

$h = 2$

Schritt 13

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 14

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

Schritt 15.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

Schritt 15.1.4

Subtrahiere $16$ von $36$ .

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

Schritt 15.1.5

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 15.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

Schritt 15.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

Schritt 15.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

Schritt 15.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 15.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 15.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Dezimalform:

$0.74535599 \dots$

Schritt 17