Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3.2.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) \cdot 1$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\cos (2 x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\cos (2 x) = 0$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (0)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 8.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 8.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 9

Die Lösung der Gleichung $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Schritt 11.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 11.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 11.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 12

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Schritt 13.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Schritt 13.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 13.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 13.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Schritt 13.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Schritt 15.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Schritt 15.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 15.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 15.4

Multipliziere $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 15.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Schritt 15.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2$

Schritt 16

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 17.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Schritt 17.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 17.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Schritt 17.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Schritt 17.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 17.2.2

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 17.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Schritt 17.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 17.2.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 17.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2}$

Schritt 17.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 18

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19