Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + 2 x^{3} + 22 x^{2} + 50 x - 75$

Schritt 1

Setze $x^{4} + 2 x^{3} + 22 x^{2} + 50 x - 75$ gleich $0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + 22 x^{2} + 50 x - 75 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$2 x^{3} + 50 x + x^{4} + 22 x^{2} - 75 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} + 50 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 x (x^{2}) + 50 x + x^{4} + 22 x^{2} - 75 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $50 x$ heraus.

$2 x (x^{2}) + 2 x (25) + x^{4} + 22 x^{2} - 75 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (25)$ heraus.

$2 x (x^{2} + 25) + x^{4} + 22 x^{2} - 75 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$2 x (x^{2} + 25) + {(x^{2})}^{2} + 22 x^{2} - 75 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 25) + u^{2} + 22 u - 75 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $u^{2} + 22 u - 75$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 75$ und deren Summe $22$ ist.

$- 3, 25$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 x (x^{2} + 25) + (u - 3) (u + 25) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 25) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 25) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $2 x (x^{2} + 25) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 25)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $2 x (x^{2} + 25)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 25) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $(x^{2} - 3) (x^{2} + 25)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (2 x) + (x^{2} + 25) (x^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $(x^{2} + 25) (2 x) + (x^{2} + 25) (x^{2} - 3)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (2 x + x^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 25) (2 u + u^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere $2 u + u^{2} - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 2.1.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 25) ((u - 1) (u + 3)) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 25) ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 25) (x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 25$ gleich $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 25$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 25}$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Schritt 2.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (25)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Schritt 2.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Schritt 2.3.2.3.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Schritt 2.3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 5$

Schritt 2.3.2.3.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 5 i$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5 i$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5 i$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5 i, - 5 i$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 25) (x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 5 i, - 5 i, 1, - 3$

Schritt 3