Elementarmathematik Beispiele

$p (x) = 81 x - x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 81 x - x^{3}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $81 x - x^{3} = 0$ um.

$81 x - x^{3} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $81 x - x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $81 x$ heraus.

$x \cdot 81 - x^{3} = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$x \cdot 81 + x (- x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 81 + x (- x^{2})$ heraus.

$x (81 - x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x (9^{2} - x^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 9$ und $b = x$ .

$x ((9 + x) (9 - x)) = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (9 + x) (9 - x) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$9 + x = 0$

$9 - x = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $9 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $9 + x$ gleich $0$ .

$9 + x = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 1.2.6

Setze $9 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $9 - x$ gleich $0$ .

$9 - x = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $9 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 9$

Schritt 1.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x = 9$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (9 + x) (9 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 9, 9$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 9, 0), (9, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 81 (0) - {(0)}^{3}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 81 (0) - 0^{3}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 81 (0) - {(0)}^{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $81 (0) - {(0)}^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $81$ mit $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{3}$

Schritt 2.2.3.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 0$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 9, 0), (9, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4