Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} = 625$

Schritt 1

Subtrahiere $625$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 625 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 625 = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $625$ als $25^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 25^{2} = 0$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 25$ .

$(x^{2} + 25) (x^{2} - 25) = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(x^{2} + 25) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(x^{2} + 25) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 25) (x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 4

Setze $x^{2} + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $x^{2} + 25$ gleich $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} + 25 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 25$

Schritt 4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (25)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Schritt 4.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 5$

Schritt 4.2.3.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 5 i$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5 i$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5 i$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5 i, - 5 i$

Schritt 5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 6

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 25) (x + 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 5 i, - 5 i, - 5, 5$