Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} - 6 x - 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{2} - 6 x - 1$ als Gleichung.

$y = x^{2} - 6 x - 1$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 6 x - 1 = y$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x = y + 1$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0 = y + 1$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 1$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 4.3.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Schritt 4.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Schritt 4.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$e = 0 - 9$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$e = - 9$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 3)}^{2} - 9$ ein.

${(x - 3)}^{2} - 9 = y + 1$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 3)}^{2} = y + 1 + 9$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $9$ .

${(x - 3)}^{2} = y + 10$