Elementarmathematik Beispiele

$x = - y^{2} + 2 y - 6$

Schritt 1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- y^{2} + 2 y - 6 = x$

Schritt 2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} + 2 y = x + 6$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0 = x + 6$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = x + 6$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.3.2.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$e = 1$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y - 1)}^{2} + 1$ ein.

$- {(y - 1)}^{2} + 1 = x + 6$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- {(y - 1)}^{2} = x + 6 - 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$- {(y - 1)}^{2} = x + 5$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- {(y - 1)}^{2} = x + 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(y - 1)}^{2} = x + 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(y - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{5}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{5}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere ${(y - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{x}{- 1} + \frac{5}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

${(y - 1)}^{2} = - 1 \cdot x + \frac{5}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

${(y - 1)}^{2} = - x + \frac{5}{- 1}$

Schritt 5.3.1.3

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

${(y - 1)}^{2} = - x - 5$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

${(y - 1)}^{2} = - (x) - 5$

Schritt 6.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

${(y - 1)}^{2} = - (x) - 1 (5)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (5)$ heraus.

${(y - 1)}^{2} = - (x + 5)$