Elementarmathematik Beispiele

$y = 2 x^{2} - 6 x + 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 x^{2} - 6 x + 2$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = - 6$

$c = 2$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (2)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{3}{2}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 2 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$e = 2 - \frac{36}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 2 - \frac{36}{8}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $8$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$e = 2 - \frac{4 (9)}{8}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$e = 2 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 2 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 2 - \frac{9}{2}$

Schritt 1.1.4.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{2 \cdot 2 - 9}{2}$

Schritt 1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{4 - 9}{2}$

Schritt 1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $9$ von $4$ .

$e = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{2}$ ein.

$2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 2$

$h = \frac{3}{2}$

$k = - \frac{5}{2}$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{3}{2}, - \frac{19}{8})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 8