Elementarmathematik Beispiele

$\cos (\arccos (x) + \arcsin (x))$

Schritt 1

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$x \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Schritt 2.1.2

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x \sqrt{1 - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Schritt 2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x \sqrt{1^{2} - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Schritt 2.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Schritt 2.1.5

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

Schritt 2.1.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

Schritt 2.1.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arcsin (x))$

Schritt 2.1.8

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ .

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Schritt 2.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ und $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ neu an.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ von $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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