Elementarmathematik Beispiele

$- 2 y^{2} + x - 20 y - 49 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $2 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - 20 y - 49 = 2 y^{2}$

Schritt 1.2

Addiere $20 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - 49 = 2 y^{2} + 20 y$

Schritt 1.3

Addiere $49$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 y^{2} + 20 y + 49$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 y^{2} + 20 y + 49$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 20$

$c = 49$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{20}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (2)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{10}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{1}$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$d = 5$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 49 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{8}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $400$ durch $8$ .

$e = 49 - 1 \cdot 50$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $50$ .

$e = 49 - 50$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $50$ von $49$ .

$e = - 1$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(y + 5)}^{2} - 1$ ein.

$2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Schritt 3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = 2 {(y + 5)}^{2} - 1$