Elementarmathematik Beispiele

$1$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{64}$ , $\frac{1}{256}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $\frac{1}{4}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = \frac{1}{4}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = 1$ und $r = \frac{1}{4}$ ein.

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Schritt 4

Mutltipliziere ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ mit $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Schritt 5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Schritt 6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a_{n} = \frac{1}{4^{n - 1}}$

Schritt 7

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 8

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{5}$ zu ermitteln.

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ mit $1$ .

$S_{5} = \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 10

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $4$ .

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$S_{5} = \frac{4}{4} \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 10.2

Kombinieren.

$S_{5} = \frac{4 ({(\frac{1}{4})}^{5} - 1)}{4 (\frac{1}{4} - 1)}$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

Schritt 12.2

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4^{5}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{5}$ heraus.

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4 \cdot 4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4 \cdot 4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = \frac{\frac{1^{5}}{4^{4}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$S_{5} = \frac{\frac{1}{4^{4}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.4

Potenziere $4$ mit $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} - 4}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.6

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{256}{256}$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} - 4 \cdot \frac{256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.7

Kombiniere $- 4$ und $\frac{256}{256}$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 4 \cdot 256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 4 \cdot 256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.9.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $256$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 1024}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.9.2

Subtrahiere $1024$ von $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1023}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 13.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Schritt 14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{1 - 4}$

Schritt 14.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{- 3}$

Schritt 15

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{5} = - \frac{1023}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 16.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1023}{256}$ in den Zähler.

$S_{5} = \frac{- 1023}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

Schritt 16.2

Faktorisiere $3$ aus $- 1023$ heraus.

$S_{5} = \frac{3 (- 341)}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

Schritt 16.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$S_{5} = \frac{3 \cdot - 341}{256} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Schritt 16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = \frac{3 \cdot - 341}{256} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Schritt 16.5

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = \frac{- 341}{256} \cdot \frac{1}{- 1}$

Schritt 17

Mutltipliziere $\frac{- 341}{256}$ mit $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 341}{256 \cdot - 1}$

Schritt 18

Mutltipliziere $256$ mit $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 341}{- 256}$

Schritt 19

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{5} = \frac{341}{256}$