Elementarmathematik Beispiele

$\sin (\frac{π}{12}) = \frac{1}{2} \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}} = \sin (\frac{π}{12})$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}} = \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}) = 2 \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}})$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ .

$2 \frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = 2 \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = 2 \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $2 \sin (\frac{π}{12})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 3.2.1.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 3.2.1.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 3.2.1.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 3.2.1.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 3.2.1.1.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 3.2.1.1.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 3.2.1.1.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 3.2.1.1.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 3.2.1.1.7.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 3.2.1.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 3.2.1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 (2)}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{A - \sqrt{B}}}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ als ${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(A - \sqrt{B})}^{1} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache.

$A - \sqrt{B} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ an.

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4}$

Schritt 5.3.1.1.3

Schreibe ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ als $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ um.

$A - \sqrt{B} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Multipliziere $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 5.3.1.3.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.6

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.3.1.3.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.9

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Schritt 5.3.1.3.1.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.9.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.10

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.3.1.3.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.13

Multipliziere $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 5.3.1.3.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.13.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.13.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.13.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.13.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.13.6

Addiere $1$ und $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.14

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.1.3.1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.3.1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.1.14.5

Berechne den Exponenten.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{4}$

Schritt 5.3.1.3.2

Addiere $6$ und $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 5.3.1.3.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 - 4 \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 5.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 5.3.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{3}$ heraus.

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

Schritt 5.3.1.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ heraus.

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4}$

Schritt 5.3.1.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

Schritt 5.3.1.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3.1.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$A - \sqrt{B} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Schritt 5.3.1.4.4.4

Dividiere $2 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$A - \sqrt{B} = 2 - \sqrt{3}$

Schritt 6

Addiere $\sqrt{B}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$A = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{B}$