Elementarmathematik Beispiele

$55^{2} = 50^{2} + 35^{2} - 2 \cdot 50 \cdot 35 \cos (A)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $50^{2} + 35^{2} - 2 \cdot 50 \cdot (35 \cos (A)) = 55^{2}$ um.

$50^{2} + 35^{2} - 2 \cdot 50 \cdot (35 \cos (A)) = 55^{2}$

Schritt 2

Vereinfache $50^{2} + 35^{2} - 2 \cdot 50 \cdot (35 \cos (A))$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $50$ mit $2$ .

$2500 + 35^{2} - 2 \cdot 50 \cdot (35 \cos (A)) = 55^{2}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $35$ mit $2$ .

$2500 + 1225 - 2 \cdot 50 \cdot (35 \cos (A)) = 55^{2}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $50$ .

$2500 + 1225 - 100 \cdot (35 \cos (A)) = 55^{2}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $35$ mit $- 100$ .

$2500 + 1225 - 3500 \cos (A) = 55^{2}$

Schritt 2.2

Addiere $2500$ und $1225$ .

$3725 - 3500 \cos (A) = 55^{2}$

Schritt 3

Potenziere $55$ mit $2$ .

$3725 - 3500 \cos (A) = 3025$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (A)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $3725$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3500 \cos (A) = 3025 - 3725$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3725$ von $3025$ .

$- 3500 \cos (A) = - 700$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 3500 \cos (A) = - 700$ durch $- 3500$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3500 \cos (A) = - 700$ durch $- 3500$ .

$\frac{- 3500 \cos (A)}{- 3500} = \frac{- 700}{- 3500}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3500$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3500 \cos (A)}{- 3500} = \frac{- 700}{- 3500}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\cos (A)$ durch $1$ .

$\cos (A) = \frac{- 700}{- 3500}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 700$ und $- 3500$ .

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $- 700$ aus $- 700$ heraus.

$\cos (A) = \frac{- 700 (1)}{- 3500}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $- 700$ aus $- 3500$ heraus.

$\cos (A) = \frac{- 700 \cdot 1}{- 700 \cdot 5}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (A) = \frac{- 700 \cdot 1}{- 700 \cdot 5}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (A) = \frac{1}{5}$

Schritt 6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $A$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$A = \arccos (\frac{1}{5})$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Berechne $\arccos (\frac{1}{5})$ .

$A = 1.3694384$

Schritt 8

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$A = 2 (3.14159265) - 1.3694384$

Schritt 9

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.3694384$ .

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$A = 6.2831853 - 1.3694384$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1.3694384$ von $6.2831853$ .

$A = 4.9137469$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\cos (A)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\cos (A)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$A = 1.3694384 + 2 π n, 4.9137469 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$