Elementarmathematik Beispiele

$20 = 7.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 21.5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $7.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 21.5 = 20$ um.

$7.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 21.5 = 20$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $21.5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = 20 - 21.5$

Schritt 2.2

Subtrahiere $21.5$ von $20$ .

$7.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = - 1.5$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $7.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = - 1.5$ durch $7.5$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $7.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = - 1.5$ durch $7.5$ .

$\frac{7.5 \cos (\frac{2 π}{365} t)}{7.5} = \frac{- 1.5}{7.5}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7.5$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7.5 \cos (\frac{2 π}{365} t)}{7.5} = \frac{- 1.5}{7.5}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ durch $1$ .

$\cos (\frac{2 π}{365} t) = \frac{- 1.5}{7.5}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $- 1.5$ durch $7.5$ .

$\cos (\frac{2 π}{365} t) = - 0.2$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{2 π}{365} t = \arccos (- 0.2)$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{2 π}{365}$ und $t$ .

$\frac{2 π t}{365} = \arccos (- 0.2)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Berechne $\arccos (- 0.2)$ .

$\frac{2 π t}{365} = 1.77215424$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 1.77215424$

Schritt 8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $365$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 1.77215424$

Schritt 8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} \cdot 1.77215424$

Schritt 8.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 8.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π t$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{365}{2 π} \cdot 1.77215424$

Schritt 8.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} \cdot 1.77215424$

Schritt 8.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{365}{2 π} \cdot 1.77215424$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot 1.77215424$ .

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Schritt 8.2.1.1

Multipliziere $\frac{365}{2 π} \cdot 1.77215424$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{365}{2 π}$ und $1.77215424$ .

$t = \frac{365 \cdot 1.77215424}{2 π}$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $365$ mit $1.77215424$ .

$t = \frac{646.83630036}{2 π}$

Schritt 8.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{646.83630036}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{646.83630036}{6.2831853}$

Schritt 8.2.1.4

Dividiere $646.83630036$ durch $6.2831853$ .

$t = 102.94719457$

Schritt 9

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{2 π t}{365} = 2 (3.14159265) - 1.77215424$

Schritt 10

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 10.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Schritt 10.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365}$ .

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Schritt 10.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $365$ .

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Schritt 10.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Schritt 10.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Schritt 10.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 10.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π t$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Schritt 10.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Schritt 10.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 1.77215424)$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{365}{2 π} (6.2831853 - 1.77215424)$

Schritt 10.2.2.1.2

Subtrahiere $1.77215424$ von $6.2831853$ .

$t = \frac{365}{2 π} \cdot 4.51103105$

Schritt 10.2.2.1.3

Multipliziere $\frac{365}{2 π} \cdot 4.51103105$ .

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Schritt 10.2.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{365}{2 π}$ und $4.51103105$ .

$t = \frac{365 \cdot 4.51103105}{2 π}$

Schritt 10.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $365$ mit $4.51103105$ .

$t = \frac{1646.52633675}{2 π}$

Schritt 10.2.2.1.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{1646.52633675}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 10.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{1646.52633675}{6.2831853}$

Schritt 10.2.2.1.6

Dividiere $1646.52633675$ durch $6.2831853$ .

$t = 262.05280542$

Schritt 11

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ .

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Schritt 11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.2

Ersetze $b$ durch $\frac{2 π}{365}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{365} |}$

Schritt 11.3

$\frac{2 π}{365}$ ist ungefähr $0.0172142$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{365}}$

Schritt 11.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 11.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Schritt 11.5.2

Forme den Ausdruck um.

$365$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ ist $365$ , d. h., Werte werden sich alle $365$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 102.94719457 + 365 n, 262.05280542 + 365 n$ , für jede Ganzzahl $n$