Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{1 - k} - \sqrt{3 k + 1} = - 2$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{3 k + 1}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{1 - k} = - 2 + \sqrt{3 k + 1}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 - k}}^{2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - k}$ als ${(1 - k)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - k)}^{1} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$1 - k = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$ als $(- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$ um.

$1 - k = (- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - k = - 2 (- 2 + \sqrt{3 k + 1}) + \sqrt{3 k + 1} (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - k = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - k = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \cdot - 2 + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \cdot - 2 + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3 k + 1}$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \cdot \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{3 k + 1}$ mit $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1} \sqrt{3 k + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{3 k + 1}$ mit $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1} {\sqrt{3 k + 1}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{3 k + 1}}^{2}$ als $3 k + 1$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 k + 1}$ als ${(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Vereinfache.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + 3 k + 1$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $4$ und $1$ .

$1 - k = 5 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + 3 k$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3 k + 1}$ von $- 2 \sqrt{3 k + 1}$ .

$1 - k = 5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k$

Schritt 4

Löse nach $- 4 \sqrt{3 k + 1}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k$ um.

$5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 4 \sqrt{3 k + 1}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k - 5$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $3 k$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = 1 - k - 5 - 3 k$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = - k - 4 - 3 k$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $3 k$ von $- k$ .

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = - 4 k - 4$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 4 \sqrt{3 k + 1})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 k + 1}$ als ${(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 4)}^{2} {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$16 {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 {(3 k + 1)}^{1} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$16 (3 k + 1) = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$16 (3 k) + 16 \cdot 1 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$48 k + 16 \cdot 1 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$48 k + 16 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(- 4 k - 4)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(- 4 k - 4)}^{2}$ als $(- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$ um.

$48 k + 16 = (- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k - 4) - 4 (- 4 k - 4)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k - 4)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 k \cdot k - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $k$ .

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 (k \cdot k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 k^{2} - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k + 16 k - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k + 16 k + 16$

Schritt 6.3.1.3.2

Addiere $16 k$ und $16 k$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 32 k + 16$

Schritt 7

Löse nach $k$ auf.

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Schritt 7.1

Da $k$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$16 k^{2} + 32 k + 16 = 48 k + 16$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $k$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $48 k$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 k^{2} + 32 k + 16 - 48 k = 16$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $48 k$ von $32 k$ .

$16 k^{2} - 16 k + 16 = 16$

Schritt 7.3

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 k^{2} - 16 k + 16 - 16 = 0$

Schritt 7.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 k^{2} - 16 k + 16 - 16$ .

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Schritt 7.4.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$16 k^{2} - 16 k + 0 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $16 k^{2} - 16 k$ und $0$ .

$16 k^{2} - 16 k = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $16 k$ aus $16 k^{2} - 16 k$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $16 k$ aus $16 k^{2}$ heraus.

$16 k (k) - 16 k = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $16 k$ aus $- 16 k$ heraus.

$16 k (k) + 16 k (- 1) = 0$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $16 k$ aus $16 k (k) + 16 k (- 1)$ heraus.

$16 k (k - 1) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$k = 0$

$k - 1 = 0$

Schritt 7.7

Setze $k$ gleich $0$ .

$k = 0$

Schritt 7.8

Setze $k - 1$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $k - 1$ gleich $0$ .

$k - 1 = 0$

Schritt 7.8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k = 1$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $16 k (k - 1) = 0$ wahr machen.

$k = 0, 1$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{1 - k} - \sqrt{3 k + 1} = - 2$ nicht erfüllen.

$k = 1$