Elementarmathematik Beispiele

$\ln (3 y + 5) - \ln (y - 1) = \ln (- 4 y + 10)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3 y + 5}{y - 1}) = \ln (- 4 y + 10)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 1, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Entferne die Klammern.

$y - 1, 1, 1$

Schritt 3.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 1$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ mit $y - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ mit $y - 1$ .

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y + 5 = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 5 = - 4 y \cdot y - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Schritt 3.2.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$3 y + 5 = - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 (y - 1)$

Schritt 3.2.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y + 10 \cdot - 1$

Schritt 3.2.3.1.5

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y - 10$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $4 y$ und $10 y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 14 y - 10$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 = 3 y + 5$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 - 3 y = 5$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $3 y$ von $14 y$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 = 5$

Schritt 3.3.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 - 5 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Subtrahiere $5$ von $- 10$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 15 = 0$

Schritt 3.3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3.5

Setze die Werte $a = - 4$ , $b = 11$ und $c = - 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.6.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 4 \cdot - 15$ .

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Schritt 3.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 16 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 15$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 240}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.6.1.3

Subtrahiere $240$ von $121$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.6.1.4

Schreibe $- 119$ als $- 1 (119)$ um.

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (119)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ um.

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$

Schritt 3.3.6.3

Vereinfache $\frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$ .

$y = \frac{11 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{11 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{11 - i \sqrt{119}}{8}$