Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{7 y^{2} + 15 y} - 2 y = 5 + y$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{7 y^{2} + 15 y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{7 y^{2} + 15 y} = 5 + y + 2 y$

Schritt 1.2

Addiere $y$ und $2 y$ .

$\sqrt{7 y^{2} + 15 y} = 5 + 3 y$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{7 y^{2} + 15 y}}^{2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 y^{2} + 15 y}$ als ${(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(7 y^{2} + 15 y)}^{1} = {(5 + 3 y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$7 y^{2} + 15 y = {(5 + 3 y)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(5 + 3 y)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(5 + 3 y)}^{2}$ als $(5 + 3 y) (5 + 3 y)$ um.

$7 y^{2} + 15 y = (5 + 3 y) (5 + 3 y)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(5 + 3 y) (5 + 3 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 y^{2} + 15 y = 5 (5 + 3 y) + 3 y (5 + 3 y)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 y^{2} + 15 y = 5 \cdot 5 + 5 (3 y) + 3 y (5 + 3 y)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 y^{2} + 15 y = 5 \cdot 5 + 5 (3 y) + 3 y \cdot 5 + 3 y (3 y)$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 5 (3 y) + 3 y \cdot 5 + 3 y (3 y)$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 3 y \cdot 5 + 3 y (3 y)$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 y (3 y)$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 \cdot 3 y \cdot y$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 \cdot 3 (y \cdot y)$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 \cdot 3 y^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 9 y^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $15 y$ und $15 y$ .

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 30 y + 9 y^{2}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $30 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y^{2} + 15 y - 30 y = 25 + 9 y^{2}$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $9 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y^{2} + 15 y - 30 y - 9 y^{2} = 25$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $9 y^{2}$ von $7 y^{2}$ .

$- 2 y^{2} + 15 y - 30 y = 25$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $30 y$ von $15 y$ .

$- 2 y^{2} - 15 y = 25$

Schritt 4.2

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y^{2} - 15 y - 25 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y^{2} - 15 y - 25$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$- (2 y^{2}) - 15 y - 25 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 15 y$ heraus.

$- (2 y^{2}) - (15 y) - 25 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$- (2 y^{2}) - (15 y) - 1 \cdot 25 = 0$

Schritt 4.3.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y^{2}) - (15 y)$ heraus.

$- (2 y^{2} + 15 y) - 1 \cdot 25 = 0$

Schritt 4.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y^{2} + 15 y) - 1 (25)$ heraus.

$- (2 y^{2} + 15 y + 25) = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ und deren Summe gleich $b = 15$ ist.

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Faktorisiere $15$ aus $15 y$ heraus.

$- (2 y^{2} + 15 (y) + 25) = 0$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Schreibe $15$ um als $5$ plus $10$

$- (2 y^{2} + (5 + 10) y + 25) = 0$

Schritt 4.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 y^{2} + 5 y + 10 y + 25) = 0$

Schritt 4.3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((2 y^{2} + 5 y) + 10 y + 25) = 0$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (y (2 y + 5) + 5 (2 y + 5)) = 0$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 y + 5$ .

$- ((2 y + 5) (y + 5)) = 0$

Schritt 4.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (2 y + 5) (y + 5) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 y + 5 = 0$

$y + 5 = 0$

Schritt 4.5

Setze $2 y + 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $2 y + 5$ gleich $0$ .

$2 y + 5 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $2 y + 5 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = - 5$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 4.6

Setze $y + 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $y + 5$ gleich $0$ .

$y + 5 = 0$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 5$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (2 y + 5) (y + 5) = 0$ wahr machen.

$y = - \frac{5}{2}, - 5$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{7 y^{2} + 15 y} - 2 y = 5 + y$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$