Elementarmathematik Beispiele

$9000 = 12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}} = 9000$ um.

$12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}} = 9000$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}} = 9000$ durch $12000$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}} = 9000$ durch $12000$ .

$\frac{12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}}}{12000} = \frac{9000}{12000}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12000$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12000 \cdot 2^{- \frac{t}{15}}}{12000} = \frac{9000}{12000}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $2^{- \frac{t}{15}}$ durch $1$ .

$2^{- \frac{t}{15}} = \frac{9000}{12000}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9000$ und $12000$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $3000$ aus $9000$ heraus.

$2^{- \frac{t}{15}} = \frac{3000 (3)}{12000}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $3000$ aus $12000$ heraus.

$2^{- \frac{t}{15}} = \frac{3000 \cdot 3}{3000 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{- \frac{t}{15}} = \frac{3000 \cdot 3}{3000 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2^{- \frac{t}{15}} = \frac{3}{4}$

Schritt 3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{- \frac{t}{15}}) = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.1

Zerlege $\ln (2^{- \frac{t}{15}})$ durch Herausziehen von $- \frac{t}{15}$ aus dem Logarithmus.

$- \frac{t}{15} \ln (2) = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 4.2

Kombiniere $\ln (2)$ und $\frac{t}{15}$ .

$- \frac{\ln (2) t}{15} = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $- \frac{\ln (2) t}{15}$ um.

$- \frac{t \ln (2)}{15} = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{15}{\ln (2)}$ .

$- \frac{15}{\ln (2)} (- \frac{t \ln (2)}{15}) = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 7

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache $- \frac{15}{\ln (2)} (- \frac{t \ln (2)}{15})$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 7.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{15}{\ln (2)}$ in den Zähler.

$\frac{- 15}{\ln (2)} (- \frac{t \ln (2)}{15}) = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 7.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{t \ln (2)}{15}$ in den Zähler.

$\frac{- 15}{\ln (2)} \cdot \frac{- t \ln (2)}{15} = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 7.1.1.1.3

Faktorisiere $15$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{15 (- 1)}{\ln (2)} \cdot \frac{- t \ln (2)}{15} = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 7.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 \cdot - 1}{\ln (2)} \cdot \frac{- t \ln (2)}{15} = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 7.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{\ln (2)} (- t \ln (2)) = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 7.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 7.1.1.2.1

Faktorisiere $\ln (2)$ aus $- t \ln (2)$ heraus.

$\frac{- 1}{\ln (2)} (\ln (2) (- t)) = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 7.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{\ln (2)} (\ln (2) (- t)) = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 7.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - t = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 7.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 7.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 t = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 7.1.1.3.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$t = - \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $- \frac{15}{\ln (2)} \ln (\frac{3}{4})$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kombiniere $\ln (\frac{3}{4})$ und $\frac{15}{\ln (2)}$ .

$t = - \frac{\ln (\frac{3}{4}) \cdot 15}{\ln (2)}$

Schritt 7.2.1.2

Bringe $15$ auf die linke Seite von $\ln (\frac{3}{4})$ .

$t = - \frac{15 \ln (\frac{3}{4})}{\ln (2)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = - \frac{15 \ln (\frac{3}{4})}{\ln (2)}$

Dezimalform:

$t = 6.22556248 \dots$