Elementarmathematik Beispiele

$750 = 52 \sin (\frac{2 π}{365} t) + 728$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $52 \sin (\frac{2 π}{365} t) + 728 = 750$ um.

$52 \sin (\frac{2 π}{365} t) + 728 = 750$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (\frac{2 π}{365} t)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $728$ von beiden Seiten der Gleichung.

$52 \sin (\frac{2 π}{365} t) = 750 - 728$

Schritt 2.2

Subtrahiere $728$ von $750$ .

$52 \sin (\frac{2 π}{365} t) = 22$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $52 \sin (\frac{2 π}{365} t) = 22$ durch $52$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $52 \sin (\frac{2 π}{365} t) = 22$ durch $52$ .

$\frac{52 \sin (\frac{2 π}{365} t)}{52} = \frac{22}{52}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $52$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{52 \sin (\frac{2 π}{365} t)}{52} = \frac{22}{52}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{2 π}{365} t)$ durch $1$ .

$\sin (\frac{2 π}{365} t) = \frac{22}{52}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $52$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $22$ heraus.

$\sin (\frac{2 π}{365} t) = \frac{2 (11)}{52}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $52$ heraus.

$\sin (\frac{2 π}{365} t) = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 26}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (\frac{2 π}{365} t) = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 26}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{2 π}{365} t) = \frac{11}{26}$

Schritt 4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{2 π}{365} t = \arcsin (\frac{11}{26})$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{2 π}{365}$ und $t$ .

$\frac{2 π t}{365} = \arcsin (\frac{11}{26})$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Berechne $\arcsin (\frac{11}{26})$ .

$\frac{2 π t}{365} = 0.43683844$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 0.43683844$

Schritt 8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $365$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 0.43683844$

Schritt 8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} \cdot 0.43683844$

Schritt 8.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 8.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π t$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{365}{2 π} \cdot 0.43683844$

Schritt 8.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} \cdot 0.43683844$

Schritt 8.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{365}{2 π} \cdot 0.43683844$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot 0.43683844$ .

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Schritt 8.2.1.1

Multipliziere $\frac{365}{2 π} \cdot 0.43683844$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{365}{2 π}$ und $0.43683844$ .

$t = \frac{365 \cdot 0.43683844}{2 π}$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $365$ mit $0.43683844$ .

$t = \frac{159.44603408}{2 π}$

Schritt 8.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{159.44603408}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{159.44603408}{6.2831853}$

Schritt 8.2.1.4

Dividiere $159.44603408$ durch $6.2831853$ .

$t = 25.37662448$

Schritt 9

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{2 π t}{365} = (3.14159265) - 0.43683844$

Schritt 10

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 10.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} ((3.14159265) - 0.43683844)$

Schritt 10.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365}$ .

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Schritt 10.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $365$ .

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Schritt 10.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} ((3.14159265) - 0.43683844)$

Schritt 10.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} ((3.14159265) - 0.43683844)$

Schritt 10.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 10.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π t$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{365}{2 π} ((3.14159265) - 0.43683844)$

Schritt 10.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} ((3.14159265) - 0.43683844)$

Schritt 10.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{365}{2 π} ((3.14159265) - 0.43683844)$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} ((3.14159265) - 0.43683844)$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Subtrahiere $0.43683844$ von $3.14159265$ .

$t = \frac{365}{2 π} \cdot 2.7047542$

Schritt 10.2.2.1.2

Multipliziere $\frac{365}{2 π} \cdot 2.7047542$ .

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Schritt 10.2.2.1.2.1

Kombiniere $\frac{365}{2 π}$ und $2.7047542$ .

$t = \frac{365 \cdot 2.7047542}{2 π}$

Schritt 10.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $365$ mit $2.7047542$ .

$t = \frac{987.23528447}{2 π}$

Schritt 10.2.2.1.3

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{987.23528447}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 10.2.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{987.23528447}{6.2831853}$

Schritt 10.2.2.1.5

Dividiere $987.23528447$ durch $6.2831853$ .

$t = 157.12337551$

Schritt 11

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{2 π}{365} t)$ .

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Schritt 11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.2

Ersetze $b$ durch $\frac{2 π}{365}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{365} |}$

Schritt 11.3

$\frac{2 π}{365}$ ist ungefähr $0.0172142$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{365}}$

Schritt 11.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 11.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Schritt 11.5.2

Forme den Ausdruck um.

$365$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{2 π}{365} t)$ ist $365$ , d. h., Werte werden sich alle $365$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 25.37662448 + 365 n, 157.12337551 + 365 n$ , für jede Ganzzahl $n$