Elementarmathematik Beispiele

$75 = - 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) + 65$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) + 65 = 75$ um.

$- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) + 65 = 75$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (\frac{2 π}{15} t)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $65$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) = 75 - 65$

Schritt 2.2

Subtrahiere $65$ von $75$ .

$- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) = 10$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) = 10$ durch $- 15$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t) = 10$ durch $- 15$ .

$\frac{- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t)}{- 15} = \frac{10}{- 15}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 15$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 15 \cos (\frac{2 π}{15} t)}{- 15} = \frac{10}{- 15}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{2 π}{15} t)$ durch $1$ .

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = \frac{10}{- 15}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $- 15$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = \frac{5 (2)}{- 15}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 15$ heraus.

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot - 3}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot - 3}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (\frac{2 π}{15} t) = - \frac{2}{3}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{2 π}{15} t = \arccos (- \frac{2}{3})$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{2 π}{15}$ und $t$ .

$\frac{2 π t}{15} = \arccos (- \frac{2}{3})$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Berechne $\arccos (- \frac{2}{3})$ .

$\frac{2 π t}{15} = 2.30052398$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{15}{2 π}$ .

$\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15} = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Schritt 8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache $\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15} = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Schritt 8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Schritt 8.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 8.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π t$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Schritt 8.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Schritt 8.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $\frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$ .

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Schritt 8.2.1.1

Multipliziere $\frac{15}{2 π} \cdot 2.30052398$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{15}{2 π}$ und $2.30052398$ .

$t = \frac{15 \cdot 2.30052398}{2 π}$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $2.30052398$ .

$t = \frac{34.50785974}{2 π}$

Schritt 8.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{34.50785974}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{34.50785974}{6.2831853}$

Schritt 8.2.1.4

Dividiere $34.50785974$ durch $6.2831853$ .

$t = 5.49209645$

Schritt 9

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{2 π t}{15} = 2 (3.14159265) - 2.30052398$

Schritt 10

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 10.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{15}{2 π}$ .

$\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15} = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 10.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1.1

Vereinfache $\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15}$ .

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Schritt 10.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 10.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{15} = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 10.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 10.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 10.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π t$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 10.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 10.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache $\frac{15}{2 π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{15}{2 π} (6.2831853 - 2.30052398)$

Schritt 10.2.2.1.2

Subtrahiere $2.30052398$ von $6.2831853$ .

$t = \frac{15}{2 π} \cdot 3.98266132$

Schritt 10.2.2.1.3

Multipliziere $\frac{15}{2 π} \cdot 3.98266132$ .

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Schritt 10.2.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{15}{2 π}$ und $3.98266132$ .

$t = \frac{15 \cdot 3.98266132}{2 π}$

Schritt 10.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $15$ mit $3.98266132$ .

$t = \frac{59.73991986}{2 π}$

Schritt 10.2.2.1.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$t = \frac{59.73991986}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 10.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$t = \frac{59.73991986}{6.2831853}$

Schritt 10.2.2.1.6

Dividiere $59.73991986$ durch $6.2831853$ .

$t = 9.50790354$

Schritt 11

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{2 π}{15} t)$ .

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Schritt 11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.2

Ersetze $b$ durch $\frac{2 π}{15}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{15} |}$

Schritt 11.3

$\frac{2 π}{15}$ ist ungefähr $0.41887902$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{15}}$

Schritt 11.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{15}{2 π}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 11.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{15}{2 π}$

Schritt 11.5.2

Forme den Ausdruck um.

$15$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{2 π}{15} t)$ ist $15$ , d. h., Werte werden sich alle $15$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = 5.49209645 + 15 n, 9.50790354 + 15 n$ , für jede Ganzzahl $n$