Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{5 x^{4} + 3 x^{2} - x}{x^{3}}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{4} + 3 x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + 3 x^{2} - x}{x^{3}}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) - x}{x^{3}}]$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x^{3}) + x (3 x)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

Schritt 1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}]$

Schritt 2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

Schritt 2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3} + 3 x - 1}{x^{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 5 x^{3} + 3 x - 1$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{3} + 3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + 0) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.10

Addiere $15 x^{2} + 3$ und $0$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 4.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

Schritt 4.12.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ heraus.

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Schritt 4.12.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (15 x^{2} + 3)$ heraus.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

Schritt 4.12.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ heraus.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

Schritt 4.12.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))$ heraus.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{15 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{15 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{15 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{15 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x + 2}{x^{3}}$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $10 x^{3}$ von $15 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} + 3 x - 6 x + 2}{x^{3}}$

Schritt 6.3.3

Subtrahiere $6 x$ von $3 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 3 x + 2}{x^{3}}$