Elementarmathematik Beispiele

$\frac{5 x^{3} + 32 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{(5 x^{3} + 32 x - 4) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 x^{3} + 32 x - 4) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $5 x^{3} + 32 x - 4$ durch $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.5.1.2

Dividiere $A x + B$ durch $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x^{2} + 6)}^{2}$ und $x^{2} + 6$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 6$ aus $(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}$ heraus.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{x^{2} + 6}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 6)}{1}$

Schritt 1.5.2.2.4

Dividiere $(C x + D) (x^{2} + 6)$ durch $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 6)$

Schritt 1.5.3

Multipliziere $(C x + D) (x^{2} + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x (x^{2} + 6) + D (x^{2} + 6)$

Schritt 1.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 6 + D (x^{2} + 6)$

Schritt 1.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Schritt 1.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.4.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Schritt 1.5.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Schritt 1.5.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Schritt 1.5.4.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Schritt 1.5.4.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $C x$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + 6 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 6$

Schritt 1.5.4.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $D$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + 6 C x + D x^{2} + 6 D$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.6.1

Bewege $B$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + C x^{3} + 6 C x + D x^{2} + B + 6 D$

Schritt 1.6.2

Bewege $6 C x$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + C x^{3} + D x^{2} + 6 C x + B + 6 D$

Schritt 1.6.3

Bewege $A x$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = C x^{3} + D x^{2} + A x + 6 C x + B + 6 D$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$5 = C$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = D$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$32 = A + 6 C$

Schritt 2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 4 = B + 6 D$

Schritt 2.5

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$5 = C$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

$5 = C$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 5$ um.

$C = 5$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Schreibe die Gleichung als $D = 0$ um.

$D = 0$

$C = 5$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

Schritt 3.2.2

Ersetze alle $C$ in $32 = A + 6 C$ durch $5$ .

$32 = A + 6 (5)$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $D$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A + 30 = 32$ um.

$A + 30 = 32$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 32 - 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $30$ von $32$ .

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $D$ in $- 4 = B + 6 D$ durch $0$ .

$- 4 = B + 6 (0)$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Schritt 3.3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache $B + 6 (0)$ .

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Schritt 3.3.4.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$- 4 = B + 0$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Schritt 3.3.4.1.2

Addiere $B$ und $0$ .

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Schritt 3.4

Schreibe die Gleichung als $B = - 4$ um.

$B = - 4$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Schritt 3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = - 4 A = 2 D = 0 C = 5$

Schritt 3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 4, A = 2, D = 0, C = 5$

Schritt 4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 6}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ , $C$ und $D$ ermittelt wurden.

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{5 x + 0}{x^{2} + 6}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $x$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(5) \cdot x + 0}{x^{2} + 6}$

Schritt 5.2

Addiere $(5) \cdot x$ und $0$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{5 x}{x^{2} + 6}$