Elementarmathematik Beispiele

$15 \log_{3} (\sqrt[3]{x}) + \log_{3} (15 x^{9}) - \log_{3} (15)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$15 \log_{3} (\sqrt[3]{x}) + \log_{3} (\frac{15 x^{9}}{15})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Vereinfache $15 \log_{3} (\sqrt[3]{x})$ , indem du $15$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} ({\sqrt[3]{x}}^{15}) + \log_{3} (\frac{15 x^{9}}{15})$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{15}$ als $x^{5}$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{3} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{15}) + \log_{3} (\frac{15 x^{9}}{15})$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (x^{\frac{1}{3} \cdot 15}) + \log_{3} (\frac{15 x^{9}}{15})$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $15$ .

$\log_{3} (x^{\frac{15}{3}}) + \log_{3} (\frac{15 x^{9}}{15})$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $3$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 5}{3}}) + \log_{3} (\frac{15 x^{9}}{15})$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 5}{3 (1)}}) + \log_{3} (\frac{15 x^{9}}{15})$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (x^{\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1}}) + \log_{3} (\frac{15 x^{9}}{15})$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (x^{\frac{5}{1}}) + \log_{3} (\frac{15 x^{9}}{15})$

Schritt 2.2.4.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$\log_{3} (x^{5}) + \log_{3} (\frac{15 x^{9}}{15})$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (x^{5}) + \log_{3} (\frac{15 x^{9}}{15})$

Schritt 2.3.2

Dividiere $x^{9}$ durch $1$ .

$\log_{3} (x^{5}) + \log_{3} (x^{9})$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x^{5} x^{9})$

Schritt 4

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{9}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{3} (x^{5 + 9})$

Schritt 4.2

Addiere $5$ und $9$ .

$\log_{3} (x^{14})$