Elementarmathematik Beispiele

$5 x^{2} - 6 x y + 5 y^{2} - 12 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 5$ , $b = - 6 x$ und $c = 5 x^{2} - 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6 x)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} - 12))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6 x)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} - 12))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.2

Es sei $u = 5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ . Ersetze $u$ für alle $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ .

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Schritt 1.3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 6 x$ an.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.2.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{36 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $36 x^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 1.3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (9 x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.4

Ersetze alle $u$ durch $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 \cdot (5 x^{2} - 12)))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 (5 x^{2}) + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.5.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 12$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} - 60))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.5.1.5

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 60$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.5.2

Subtrahiere $25 x^{2}$ von $9 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (- 16 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.6

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2} + 60$ heraus.

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Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 4 (15))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2}) + 4 (15)$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 \cdot (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{16 (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe $16 (- 4 x^{2} + 15)$ als ${(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)$ um.

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Schritt 1.3.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 x \pm 2^{2} \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$ .

$y = \frac{3 x \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6 x)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} - 12))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.2

Es sei $u = 5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ . Ersetze $u$ für alle $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ .

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Schritt 1.4.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 6 x$ an.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.2.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{36 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $36 x^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 1.4.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (9 x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.4

Ersetze alle $u$ durch $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 \cdot (5 x^{2} - 12)))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 (5 x^{2}) + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.5.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.5.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 12$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} - 60))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.5.1.5

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 60$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.5.2

Subtrahiere $25 x^{2}$ von $9 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (- 16 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.6

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2} + 60$ heraus.

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Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 4 (15))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2}) + 4 (15)$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 \cdot (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{16 (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $16 (- 4 x^{2} + 15)$ als ${(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)$ um.

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Schritt 1.4.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 x \pm 2^{2} \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$ .

$y = \frac{3 x \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{3 x + 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6 x)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} - 12))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.2

Es sei $u = 5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ . Ersetze $u$ für alle $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ .

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Schritt 1.5.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 6 x$ an.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.2.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{36 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $36 x^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 1.5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (9 x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.4

Ersetze alle $u$ durch $5 \cdot (5 x^{2} - 12)$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 \cdot (5 x^{2} - 12)))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (5 (5 x^{2}) + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.5.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} + 5 \cdot - 12))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.5.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 12$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2} - 60))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - (25 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.5.1.5

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 60$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (9 x^{2} - 25 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.5.2

Subtrahiere $25 x^{2}$ von $9 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (- 16 x^{2} + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.6

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2} + 60$ heraus.

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Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 60)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2}) + 4 (15))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2}) + 4 (15)$ heraus.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4 \cdot (4 (- 4 x^{2} + 15))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{16 (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $16 (- 4 x^{2} + 15)$ als ${(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)$ um.

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Schritt 1.5.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{4^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 4 x^{2} + 15)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 x \pm 2^{2} \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{6 x \pm 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{10}$ .

$y = \frac{3 x \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{3 x - 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{3 x + 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x - 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x + 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x - 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{3 x + 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x - 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Schritt 4

Zerlege den Bruch $\frac{3 x - 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{2 \sqrt{- 4 x^{2} + 15}}{5}$

Schritt 6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{5} x + \frac{2}{5} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 15}$

$y = \frac{3}{5} x - (\frac{2}{5} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 15})$

Schritt 7

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3}{5} x + \frac{2}{5} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 15}$

$y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 15}$

Schritt 8