Elementarmathematik Beispiele

$4 y^{2} + x - 32 y + 68 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 32$ und $c = x + 68$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (x + 68))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $- 32$ mit $2$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 4 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 16 \cdot 68}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $68$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 1088}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.5

Subtrahiere $1088$ von $1024$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{- 16 x - 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.6

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x - 64$ heraus.

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Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x$ heraus.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) - 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.6.2

Faktorisiere $16$ aus $- 64$ heraus.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (- 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.6.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (- x) + 16 (- 4)$ heraus.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.7

Schreibe $16 (- x - 4)$ als ${(2^{2})}^{2} (- x - 4)$ um.

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Schritt 1.3.1.7.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{4^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{32 \pm 2^{2} \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- x - 4}}{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $- 32$ mit $2$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 4 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 16 \cdot 68}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $68$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 1088}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.5

Subtrahiere $1088$ von $1024$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{- 16 x - 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.6

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x - 64$ heraus.

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Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x$ heraus.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) - 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.6.2

Faktorisiere $16$ aus $- 64$ heraus.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (- 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.6.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (- x) + 16 (- 4)$ heraus.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.7

Schreibe $16 (- x - 4)$ als ${(2^{2})}^{2} (- x - 4)$ um.

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Schritt 1.4.1.7.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{4^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{32 \pm 2^{2} \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- x - 4}}{2}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{8 + \sqrt{- x - 4}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $- 32$ mit $2$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 4 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 \cdot (x + 68)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 16 \cdot 68}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $68$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 x - 1088}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.5

Subtrahiere $1088$ von $1024$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{- 16 x - 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.6

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x - 64$ heraus.

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Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x$ heraus.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) - 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.6.2

Faktorisiere $16$ aus $- 64$ heraus.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x) + 16 (- 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.6.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (- x) + 16 (- 4)$ heraus.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{16 (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.7

Schreibe $16 (- x - 4)$ als ${(2^{2})}^{2} (- x - 4)$ um.

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Schritt 1.5.1.7.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{4^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{32 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- x - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{32 \pm 2^{2} \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{32 \pm 4 \sqrt{- x - 4}}{8}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- x - 4}}{2}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{8 + \sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8 + \sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{8 + \sqrt{- x - 4}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{8}{2} + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$

Schritt 4

Dividiere $8$ durch $2$ .

$y = 4 + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$

Schritt 5

Zerlege den Bruch $\frac{8 - \sqrt{- x - 4}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = 4 + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = \frac{8}{2} + \frac{- \sqrt{- x - 4}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Dividiere $8$ durch $2$ .

$y = 4 + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = 4 + \frac{- \sqrt{- x - 4}}{2}$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 4 + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = 4 - \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = 4 + \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

$y = 4 - \frac{\sqrt{- x - 4}}{2}$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$y = 4 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- x - 4}$

$y = 4 - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{- x - 4})$

Schritt 8

Entferne die Klammern.

$y = 4 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- x - 4}$

$y = 4 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- x - 4}$

Schritt 9