Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - \frac{1}{2} x$ an.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2}$

Schritt 1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = 0$

Schritt 1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1) \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.4.2.3

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = - \frac{1}{4}$

Schritt 1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Schritt 1.5.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 1.5.2.1.4

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.5.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.2.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Schritt 1.5.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{16}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Schritt 1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ ein.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Schritt 2

Setze ${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ für $x^{2} - \frac{1}{2} x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + y^{2} + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$

Schritt 3

Bringe $- \frac{1}{16}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{16}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + \frac{1}{2} y$ an.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$y^{2} + \frac{y}{2}$

Schritt 4.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

Schritt 4.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.2.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Schritt 4.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Schritt 4.5.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 4.5.2.1.4

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 4.5.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 4.5.2.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Schritt 4.5.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{16}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Schritt 4.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ ein.

${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Schritt 5

Setze ${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ für $y^{2} + \frac{1}{2} y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Schritt 6

Bringe $- \frac{1}{16}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{16}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$

Schritt 7

Vereinfache $\frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$ .

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1 + 1}{16}$

Schritt 7.2

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2}{16}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 (1)}{16}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1 + 1}{8}$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2}{8}$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 (1)}{8}$

Schritt 7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{4}$