Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 4 y + 4 = x - 7$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 y + 4 - x = - 7$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 y + 4 - x + 7 = 0$

Schritt 1.1.2

Addiere $4$ und $7$ .

$y^{2} - 4 y - x + 11 = 0$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - x + 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ heraus.

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Schritt 1.4.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- x + 11$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Addiere $- 4$ und $11$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Schreibe $- 4 (- x + 7)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))$ um.

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Schritt 1.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ heraus.

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Schritt 1.5.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- x + 11$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Addiere $- 4$ und $11$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Schreibe $- 4 (- x + 7)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))$ um.

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Schritt 1.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ heraus.

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Schritt 1.6.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (- x + 11)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x + 11))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- x + 11$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.3

Addiere $- 4$ und $11$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.4

Schreibe $- 4 (- x + 7)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))$ um.

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Schritt 1.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.4.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- x + 7)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

Schritt 1.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- x + 7)}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Schreibe $- 1 (- x + 7)$ als $- (- x + 7)$ um.

$y = 2 + \sqrt{- (- x + 7)}$

$y = 2 - \sqrt{- (- x + 7)}$

Schritt 4