Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 5 x - 4 y - 1 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - 5 x - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 1)$ heraus.

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Schritt 1.3.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 1)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 5 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 5 x - 1))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 5 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 5 x - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 5 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 5 x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x - 5$ heraus.

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Schritt 1.3.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (5 (- x) - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (5 (- x) + 5 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- x) + 5 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 20 (- x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.6

Schreibe $- 20 (- x - 1)$ als $2^{2} \cdot (- 5 (- x - 1))$ um.

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Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 5) (- x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.6.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 5 (- x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 5 (- x - 1)}}{2}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 5 (- x - 1)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 5 (- x - 1)}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 1)$ heraus.

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Schritt 1.4.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 1)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 5 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 5 x - 1))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 5 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 5 x - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 5 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 5 x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x - 5$ heraus.

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Schritt 1.4.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (5 (- x) - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (5 (- x) + 5 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- x) + 5 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 20 (- x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6

Schreibe $- 20 (- x - 1)$ als $2^{2} \cdot (- 5 (- x - 1))$ um.

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Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 5) (- x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 5 (- x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 5 (- x - 1)}}{2}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 5 (- x - 1)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 5 (- x - 1)}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 5 (- x - 1)}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 1)$ heraus.

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Schritt 1.5.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 1)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 5 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 5 x - 1))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 5 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 5 x - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 5 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 5 x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x - 5$ heraus.

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Schritt 1.5.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (5 (- x) - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (5 (- x) + 5 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- x) + 5 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 20 (- x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6

Schreibe $- 20 (- x - 1)$ als $2^{2} \cdot (- 5 (- x - 1))$ um.

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Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 5) (- x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 5 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 5 (- x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 5 (- x - 1)}}{2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 5 (- x - 1)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 5 (- x - 1)}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 5 (- x - 1)}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 2 + \sqrt{- 5 (- x - 1)}$

$y = 2 - \sqrt{- 5 (- x - 1)}$

$y = 2 + \sqrt{- 5 (- x - 1)}$

$y = 2 - \sqrt{- 5 (- x - 1)}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Die Standardform ist $2 + \sqrt{- 5 (- x - 1)}, 2 - \sqrt{- 5 (- x - 1)}$ .

$y = 2 + \sqrt{- 5 (- x - 1)}$

$y = 2 - \sqrt{- 5 (- x - 1)}$

Schritt 4