Elementarmathematik Beispiele

${(x + 2)}^{7}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(x + 2)}^{7}$ gilt $n = 7$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $8$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$ .

$1 a^{7} b^{0} + 7 a^{6} b + 21 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + 7 a b^{6} + 1 a^{0} b^{7}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $x$ und $b$ $2$ in den Ausdruck ein.

$1 {(x)}^{7} {(2)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{7}$ mit $1$ .

${(x)}^{7} {(2)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{7} \cdot 1 + 7 {(x)}^{6} {(2)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $x^{7}$ mit $1$ .

$x^{7} + 7 {(x)}^{6} {(2)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.4

Berechne den Exponenten.

$x^{7} + 7 x^{6} \cdot 2 + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 21 x^{5} \cdot 4 + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $4$ mit $21$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 35 x^{4} \cdot 8 + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $8$ mit $35$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.10

Potenziere $2$ mit $4$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 35 x^{3} \cdot 16 + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $16$ mit $35$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.12

Potenziere $2$ mit $5$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 21 x^{2} \cdot 32 + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $32$ mit $21$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.14

Vereinfache.

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 7 x {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.15

Potenziere $2$ mit $6$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 7 x \cdot 64 + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $64$ mit $7$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 448 x + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 448 x + {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

Schritt 4.18

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 448 x + 1 {(2)}^{7}$

Schritt 4.19

Mutltipliziere ${(2)}^{7}$ mit $1$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 448 x + {(2)}^{7}$

Schritt 4.20

Potenziere $2$ mit $7$ .

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 448 x + 128$